皮亚诺公理 　　皮亚诺公理,也称皮亚诺公设,是数学家皮亚诺(皮阿罗)提出的关于自然数的五条公理系统.根据这五条公理可以建立起一阶算术系统,也称皮亚诺算术系统.皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：①1是自然数；②每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数a',a'也是自然数（一个数的后继数就是紧接在这个数后面的数,例如,1的后继数是2,2的后继数是3等等）；③如果b、c都是自然数a的后继数,那么b=c；④1不是任何自然数的后继数；⑤任意关于自然数的命题,如果证明了它对自然数1是对的,又假定它对自然数n为真时,可以证明它对n'也真,那么,命题对所有自然数都真.（这条公理也叫归纳公设,保证了数学归纳法的正确性）注：归纳公设可以用来证明1是唯一不是后继数的自然数,因为令命题为“n=1或n为其它数的后继数”,那么满足归纳公设的条件.若将0也视作自然数,则公理中的1要换成0. 　　编辑本段更正式的定义 　　一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X,x,f)：1、X是一集合,x为X中一元素,f是X到自身的映射；2、x不在f的值域内；3、f为一单射.4、若A为X的子集并满足x属于A,且若a属于A,则f(a)亦属于A则A=X.该结构与由皮阿罗公理引出的关于自然数集合的基本假设是一致的：1、P(自然数集)不是空集；2、P到P内存在a->a直接后继元素的一一映射；3、后继元素映射像的集合是P的真子集；4、若P任意子集既含有非后继元素的元素,又有含有子集中每个元素的后继元素,则此子集与P重合.能用来论证许多平时常见又不知其来源的定理!例如:其中第四个假设即为应用极其广泛的归纳法第一原理（数学归纳法）的理论依据. 　　这就是数字相加的理论基础：当然这是在人们根据经验1+1=21+2=3.后为了加强理论基础而设立的一个理论,这就成了自然数相加的理论基础