如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=(k＞0)的图像经过点D且与边BA交
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更新时间:2024-04-28 00:55:02
问题描述：
如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=(k＞0)的图像经过点D且与边BA交于点E，连接DE.
（1） 连接OE，若△EOA的面积为2，则k= ；
（2） 连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；
（3） 是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。
陈楷民回答：
(1)k=4(2)连接AC，如右图，设D(x5)E(3)则BD=3－x，BE=5－， =，∴∴DE∥AC．(3)假设存在点D满足条件．设D(x5)，E(3)则CD=x，BD=3－x，BE=5－，AE=．作EF⊥OC，垂足为F，如下图易证△B'CD∽△EFB'，∴，即，∴B'F=，∴OB'=B'F＋OF=B'F＋AE=＋=∴CB'=OC－OB'=5－在Rt△B'CD中，CB'=5－，CD=x，B'D=BD=3－x由勾股定理得，CB'²＋CD²=B'D²(5－)²＋x²=(3－x)²解这个方程得，x1=1.5(舍去)，x2=0.96∴满足条件的点D存在，D的坐标为D(0.96，5)．
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