【大学函数极限问题设a>0,确定p的值,使得极限lim(x->无穷）x^p[a^(1/x)-a(1/(x+1))]存在我们没学Taylor展开】
3人问答
更新时间:2024-04-28 10:47:40
问题描述：
大学函数极限问题
设a>0,确定p的值,使得极限lim(x->无穷）x^p[a^(1/x)-a(1/(x+1))]存在
我们没学Taylor展开
秦箕英回答：
用Taylor展式：a^(1/x)＝e^(lna/x)＝1+lna/x+(lna)^2/(2x^2)+o(1/x^2),a^(1/(x+1))＝e^(lna/(x+1))＝1+lna/(x+1)+(lna)^2/(2(x+1)^2)+o(1/x^2)由此知道a^(1/x)－a^(1/(x+1))等价于lna/(x(x+1))+(lna)^2/(2x^2)－(lna...
秦箕英回答：
e^x－1等价于x，当x趋于0时；（这个知道吧？）于是a^x－1＝e^(xlna)－1等价于xlna，当x趋于0时。因此a^(1/x)－a^(1/(x+1))＝a^(1/x)[1－a^(1/(x+1)－1/x)]利用上面的结论，当x趋于无穷时，1/(x+1)－1/(x)趋于0，以及a^(1/x)趋于1，上式等价于(1/x－1/(x+1))*lna＝lna/(x(x+1))等价于lna/(x^2)。于是得到结论：p
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