【如图1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于点D．（1）若正方形ABOC的边长为2，对角线BC与OA相交于点E．则：①BC的长为___；②DE的长为___；③根据已知及求得的线段OB、BC、DE的长，请找出】
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更新时间:2024-04-28 03:09:46
问题描述：
如图1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于点D．
（1）若正方形ABOC的边长为2，对角线BC与OA相交于点E．则：
①BC的长为___；②DE的长为___；③根据已知及求得的线段OB、BC、DE的长，请找出它们的数量关系？
（2）如图2，当直角∠BAC绕着其顶点A顺时针旋转时，角的两边分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点C1和B1，连接B1C1交OA于P．B1D平分∠OB1C1，交OA于点D，过点D作DE⊥B1C1，垂足为E，请猜想线段OB、B1C1、DE三者之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）在（2）的条件下，当B1E=6，C1E=4时，求直线B1D的解析式．
李静回答：
（1）①22；（1分）
②2−2；（3分）
③线段OB、BC、DE的长的关系为OB＝12BC+DE（5分）
注：只要符合三条线段长度关系的式子都对．
（2）猜想线段OB、B1C1、DE的长的关系为OB＝12B1C1+DE．（6分）
证明如下：过点D作DF⊥OB于F．
∵∠BAC=∠B1AC1=90°，
∴∠B1AB=∠C1AC．
又∵AB=AC，∠B1BA=∠C1CA=90°，
∴△B1BA≌△C1CA（ASA），（7分）
∴B1A=C1A，
∴AB1=22B1C1．
∵∠B1DA=∠AOB+∠OB1D=45°+∠OB1D，
∠DB1A=∠DB1C1+∠AB1C1=45°+∠DB1C1，
∵∠OB1D=∠DB1C1，
∴∠B1DA=∠DB1A，
∴AD=AB1=22B1C1（8分）
∴OD=2DF=2DE且AO=2OB，
∴AD+OD=2OB，
∴22B1C1+2DE=2OB，
∴OB=12B1C1+DE．
（3）∵B1E=6，C1E=4，
∴B1C1=10．
由（2）得OB=5+DE=5+DF，（10分）
∴BF=5．
∵B1F=B1E=6，
∴B1B=1，AB1=52，
∴AB=OB=(52)2−12=7，
∴DE=2．
∴D的坐标为（2，2），B1的坐标为（0，8），（11分）
∴直线B1D的解析式y=-3x+8．（12分）
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