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【如图,在锥体P-ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD=,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点(1)证明:AD⊥平面DEF(2)求二面角P-AD-B的余弦值.____】
1人问答
更新时间:2024-04-28 04:51:29
问题描述:

如图,在锥体P-ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且∠DAB=60°,PA=PD=,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点

(1)证明:AD⊥平面DEF

(2)求二面角P-AD-B的余弦值.____

吕耀军回答:
  【分析】(1)利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键,在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直,利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE,通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF;   (2)利用(1)中的结论找到二面角P-AD-B的平面角是解决本题的关键,求角往往要利用三角形中的余弦定理.   (1)取AD的中点G,连接PG,BG,在ΔABG中,根据余弦定理可以算出BG=,   发现AG2+BG2=AB2,可以得出AD⊥BG,又DE∥BG   ∴DE⊥AD,   又PA=PD,可以得出AD⊥PG,而PG∩BG=G,   ∴AD⊥平面PBG,而PB⊂平面PBG,   ∴AD⊥PB,又PB∥EF,   ∴AD⊥EF.又EF∩DE=E,   ∴AD⊥平面DEF.   (2)由(1)知,AD⊥平面PBG,   ∴∠PGB为二面角P-AD-B的平面角,   在ΔPBG中,PG=,BG=,PB=2,由余弦定理得   cos∠PGB=,   因此二面角P-AD-B的余弦值为.   【点评】本题考查立体几何中基本的线面关系,考查线面垂直的判定方法,考查二面角的求法,训练了学生基本的空间想象能力,考查学生的转化与化归思想,解三角形的基本知识和学生的运算能力,属于基本的立体几何题.
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