显然x>0
先对f(x)求导f'(x)=2ax+1/x-(a+2)
令f'(x)=0有2ax^2-(a+2)x+1=0,即x^2-(1/2+1/a)+1/2a=(x-1/2)(x-1/a)=0
解得x=1/2或x=1/a.显然x=1/2
刚仔细分析了一下,你的结论是非常正确的!赞!详细解答过程如下:
显然x>0
先对f(x)求导f'(x)=2ax+1/x-(a+2)
令f'(x)=0有2ax^2-(a+2)x+1=0,即x^2-(1/2+1/a)+1/2a=(x-1/2)(x-1/a)=0
解得x=1/2或x=1/a
注意到f(1)=a*1^2-(a+2)*1-ln1=-2
当a=2即1/a=1/2时,f'(x)>0恒成立,则f(x)递增
而此时区间[1,e]上函数也递增,最大值fmax=f(e)>f(1)=-2,显然a=2不符合要求
当a>2即0<1/a<1/2时
区间(0,1/a)上f'(x)>0,则f(x)递增
区间(1/a,1/2)上f'(x)<0,则f(x)递减
区间(1/2,+∞)上f'(x)>0,则f(x)递增
可见,f(1/a)取得极大值,f(1/2)取得极小值
而此时区间[1,e]上函数递增,最大值fmax=f(e)>f(1)=-2,显然a>2也不符合要求
当0<a<2即1/a>1/2时
区间(0,1/2)上f'(x)>0,则f(x)递增
区间(1/2,1/a)上f'(x)<0,则f(x)递减
区间(1/a,+∞)上f'(x)>0,则f(x)递增
可见,f(1/2)取得极大值,f(1/a)取得极小值
当1/2<1/a≤1即1≤a<2时,区间[1,e]上函数递增,最大值fmax=f(e)>f(1)=-2,不符合要求
当1<1/a≤e即1/e≤a<1时,区间[1,e]上函数无单调,最大值fmax=max{f(1),f(e)}。若要使最大值为f(1)=-2,则有f(e)≤f(1),即ae^2-(a+2)e+1≤-2,即a≤(2e-3)/(e^2-e)。显然1/e<(2e-3)/(e^2-e)<1,也就是说当1/e≤a≤(2e-3)/(e^2-e)时函数f(x)在区间[1,e]上取得最大值-2。
当1/a>e即0<a<1/e时,区间[1,e]上函数递减,最大值fmax=f(1)=-2,符合要求。
综上,符合要求的a的取值范围为0<a<1/e或1/e≤a≤(2e-3)/(e^2-e),即0<a≤(2e-3)/(e^2-e)
我没这么分类,就拿俩端点值作比较,就出这个答案了!因为最大值只能在端点处取到~不过你的答案很赞~