如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP，其中正
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更新时间:2024-04-20 21:58:54
问题描述：
如图，等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP； ④S△ABC=S四边形AOCP，其中正确的有（）
A.②③
B.①②④
C.③④
D.①②③④
任勇回答：
如图，
①连接OB，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD是BC垂直平分线，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DBO=∠DCO，
∵∠ABO+∠DBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°．故①正确；
②∵△OBP中，∠BOP=180°-∠OPB-∠OBP，
△BOC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∴∠POC=360°-∠BOP-∠BOC=∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，
∵∠OPB=∠OBP，∠OBC=∠OCB，
∴∠POC=2∠ABD=60°，
∵PO=OC，
∴△OPC是等边三角形，故②正确；
③在AB上找到Q点使得AQ=OA，则△AOQ为等边三角形，
则∠BQO=∠PAO=120°，
在△BQO和△PAO中，
∠BQO＝∠PAO∠ABO＝∠APOOB＝OP
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