一扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角等于多少度时,此扇形的面积最大?最大面积又为多少?
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更新时间:2024-04-24 02:13:35
问题描述：
一扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角等于多少度时,此扇形的面积最大?最大面积又为多少?
秦世引回答：
解:设扇形的圆心角为x弧度,设扇形的圆半径为r,因为一个圆的圆心角为2π弧度,对应的圆弧即圆周长为2πr那么扇形的圆弧长为(2πr/2π)*x=rx根据一扇形的周长为C有rx+2r=cr=c/(x+2)因为一个圆的面积为πr^2那么扇形面积为(x/2π)*πr^2=1/2*x*r^2=1/2*x*[c/(x+2)]^2=c^2/2*x/(x+2)^2面积最大,也就是求x/(x+2)^2最大x/(x+2)^2=x/(x^2+4x+4)=1/(x+4+4/x)=1/[(√x)^2-2*√x*(2/√x)+(2/√x)^2+8]=1/[(√x-2/√x)^2+8]要使上面式子值最大,则分母最小,只有当√x-2/√x=0时分母最小解√x-2/√x=0得到x=2此时c^2/2*x/(x+2)^2=c^2/2*2/(2+2)^2=c^2/16答:当扇形圆心角为2弧度角大时,面积最大.为c^2/16
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