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2009年全国1卷理科数学第11题f(x+1)和f(x-1)是奇函数,定义域为R.答案f(x+3)为奇函数,解析说-f(x+1)=f(-x+1)即f(-x)=-f(2+x),我很疑惑,不应该是f(-x-1)么?还有就是f(-x)=-f(2+x)是
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更新时间:2024-04-27 03:49:58
问题描述:

2009年全国1卷理科数学第11题f(x+1)和f(x-1)是奇函数,定义域为R.答案f(x+3)为奇函数,解析说-f(x+1)=f(-x+1)即f(-x)=-f(2+x),我很疑惑,不应该是f(-x-1)么?还有就是f(-x)=-f(2+x)是怎么得出来的?能不能详细的讲一下这一问和相关知识?

耿志华回答:
  1、举个例子:设f(x+1)=x是奇函数,则:-f(x+1)=-x;f(-x+1)=-x   所以-f(x+1)=f(-x+1).   [说明:根据假设,f(x)=x-1,f(-x+1)=(-x+1)-1=-x]   结论:对于f(g(x))是奇(偶)函数的函数形式,变量是x而不是g(x).   f(g(x))=h(x)是奇函数,-f(g(x))=-h(x),f(x)=h(g-1(x)),   [说明:g-1(x)是g(x)的反函数]   f(g(-x))=h(g-1(g(-x)))=h(-x)=-h(x)=-f(g(x))   从以上的推导也可以看出变量是x.   2、-f(x+1)=f(-x+1)   将x=x+1带入便可得f(-x)=-f(2+x)   3、这一类题一般是用代换参数的方法变换以达到目的,将f(g(x))变换为f(x)等题目要求的形式
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