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【设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈R,都有a+b,a-b,ab,a/b∈P(除数b≠0),则称P是一个数域,那么数集F={a+b根号2|a,b∈Q}为什么也是数域?我证不出.】
1人问答
更新时间:2024-03-29 08:00:46
问题描述:

设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈R,都有a+b,a-b,ab,a/b∈P(除数b≠0),则称P是一个数域,那么数集F={a+b根号2|a,b∈Q}为什么也是数域?

我证不出.

马德坤回答:
  只要证F对“加、减、乘、除”封闭即可:   设x=a+b√2,y=c+d√2(a,b∈Q)则   x+y=(a+c)+(b+d)√2,((a+c)∈Q,(b+d)∈Q)   x-y=(a-c)+(b-d)√2,((a-c)∈Q,(b-d)∈Q)   xy=(ac+2bd)+(ad+bc)√2,((ac+2bd)∈Q,(ad+bc)∈Q)   x/y=(ac-2bd)/(c²-2d²)+[(bc-ad)/(c²-2d²)]√2,((ac-2bd)/(c²-2d²)∈Q,(bc-ad)/(c²-2d²)∈Q)   所以数集F={a+b根号2|a,b∈Q}也是数域
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