f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明在(0,1)内至少存在一点使f'(x)=1f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导。
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更新时间:2024-04-19 22:39:58
问题描述：
f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明在(0,1)内至少存在一点使f'(x)=1
f(x)在[0,1]上连续，在（0，1）内可导。
吕思义回答：
根据拉格朗日定理,存在ξ1∈(0,1/2),满足f'(ξ1)=[f(1/2)-f(0)]/(1/2-0),即f'(ξ1)=2①；同理存在ξ2∈(1/2,1),满足f'(ξ2)=[f(1)-f(1/2)]/(1-1/2),即f'(ξ2)=-2②；考察极限lim(△x→0)f'(x+△x),由于f(x)在(0,1)内可导,即f'(x)存在,所以lim(△x→0)f'(x+△x)=f'(x),即f'(x)在(0,1)连续,所以至少存在一点x∈(ξ1,ξ2),即x∈(0,1),满足f'(ξ1)=2＞f'(x)=1＞f'(ξ2)=-2.
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