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设f(x)为R→R函数,且对任意实数,有f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=9x^2-15,则f(50)=?
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更新时间:2024-03-29 09:06:56
问题描述:

设f(x)为R→R函数,且对任意实数,有f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=9x^2-15,则f(50)=?

陈晓钢回答:
  f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=9x^2-15……式1   为了配凑:令   x^2+x=y^2-3y+2   y^2+y=x^2-3x+2   上式加下式化简得:x+y=-3y-3x+4,则x+y=1   令y=1-x,则x=1-y,代入得:   f((1-y)(2-y))+2f((-y)(-1-y))=9(1-y)^2-15   f(y^2-3y+2)+2f(y^2+y)=9y^2-18y-6……式2   令y=x,则式2变为   f(x^2-3x+2)+2f(x^2+x)=9x^2-18x-6……式3   2*式3-式1得   3f(x^2+x)=18x^2-36x-12-9x^2+15   化简即:f(x^2+x)=3x^2-12x+1……式4   令y=x^2+x,则   f(y)=3x^2+3x-3x-12x+1=3y-15x+1   ====说明:进行到这一步,配凑告一段落.但配得不工整,猜想,出题的本意应以结果简洁为主,因此不排除本题有点小差错,稍稍修改一下原题(f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=9x^2-15x).====   f(x^2+x)+2f(x^2-3x+2)=9x^2-15x……式1   为了配凑:令   x^2+x=y^2-3y+2   y^2+y=x^2-3x+2   上式加下式化简得:x+y=-3y-3x+4,则x+y=1   令y=1-x,则x=1-y,代入得:   f((1-y)(2-y))+2f((-y)(-1-y))=9(1-y)^2-15(1-y)   f(y^2-3y+2)+2f(y^2+y)=9y^2-3y-6……式2   令y=x,则式2变为   f(x^2-3x+2)+2f(x^2+x)=9x^2-3x-6……式3   2*式3-式1得   3f(x^2+x)=18x^2-6x-12-9x^2+15x   化简即:f(x^2+x)=3x^2+3x-4……式4   令y=x^2+x,则   f(y)=3y-4   因此f(50)=3*50-4=146
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