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用数学归纳法证明:cos(x/2)×cos(x/2^2)×...×cos(x/2^n)=sinx/[2^n×sin(x/2^n)]当n=k+1时,怎么证的?
1人问答
更新时间:2024-04-19 08:33:14
问题描述:

用数学归纳法证明:cos(x/2)×cos(x/2^2)×...×cos(x/2^n)=sinx/[2^n×sin(x/2^n)]

当n=k+1时,怎么证的?

洪钟威回答:
  前面验证初值,假设就省略了.   当n=k+1时,   左边=cos(x/2)×cos(x/2^2)×...×cos(x/2^k)×cos[x/2^(k+1)]=sinx×cos[x/2^(k+1)]/[2^k×sin(x/2^k)]   由于,sin(x/2^k)=2×sin[x/2^(k+1)]×cos[x/2^(k+1)]   所以左边=sinx×cos[x/2^(k+1)]/{2^k×2×sin[x/2^(k+1)]×cos[x/2^(k+1)]}=sinx/{2^(k+1)×sin[x/2^(k+1)]}=右边   所以等式对于n=k+1时也成立.
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