在集合E中定义一个对等关系x~y,当且仅当x-y属于有理数集,那么等于Aa的并集,a是下标每个Aa是一个对等集合,任取ba属于Aa,作集合C={ba|a属于指标集},那么集合C是不可测的,下面给出证明. 　　对于任意x属于E,存在ba,使得x-ba属于有理数集,令x-ba=rj,ri是可列的. 　　那么集合E属于U(rj+B)属于U（rj+E）,其中j从1到无穷大. 　　并且对于不同的j和k,（rj+B）交（rk+B）是空集,用反证法,如若不然,则有x和y属于B,使得x+rj=y+rk,移项得x-y=rj-rk,结果属于有理数,说明x和y对等,则x必须等于y,得出rj等于rk,矛盾. 　　最后如果mE=0,则m(rj+B)=0,而这个集合是包含了测度大于0的E的,所以矛盾 　　如果mE>0,m{U(rj+B)}=Um(rj+B)=无穷大,其中j从1到无穷大,而这个集合是含于U（rj+E）的,矛盾. 　　纵上所述,任何具有正测度的集合必有不可测子集的证明过程